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十六 伟力1（第1页）

事实而言，上帝不需要赘述。

不证自明的存在需要我的吹捧、需要你们的看法吗？

不需要。

祂，就在那里。

不为任何思想和言论而改变。

祂也根本不屑于操纵剧情走向，不屑于为我等展示力量。

要问为什么…

你在路边瞥见一只蚂蚁，会驻足向蚂蚁展示人类的力量吗？

不会。

可能有个别人会，那样的人一般被其他人类当作神经病就是了。

在上帝的伟力面前，所谓实数集的势(??，也是任意长度的线、正方形、立方体内所有几何点的数目），最小的不可数无穷正则基数也只不过是个开始。??有多大呢？从??出不断地向上攀登，攀登的层级是无止境的(一句无止境也远远不能概括，自然语言很难形容这种层级的复杂度），但在??或其他的更高层看来，这些层级都是可数的。往??之上延续，就会遇到??(包括不连续函数的、所有几何曲线的数目），??，…，?_??，…，?_ε?，…，?_?ck，…，?_??，?_??，…，?_?_??，…，?_?_??，…直到第一个阿列夫不动点，也就是阿列夫下标指数塔?_?_?_。。。。。。，记作?(1，o），然后是?(1，1），?(1，2），……，?(1，?(1，o）），…，?(2，o），?(3，o），…，?(?(1，o），o），…，?(1，o，o），?(1，o，o，o），…，?(1a??），?(1a??），?(1a??），……如此无尽递推下去，也始终到不了第一个容许基数，那是取幂和取极限遥望而不可即的界限，阿列夫函数递归嵌套在它面前失去了意义。随后就是第二个容许基数，第三个容许基数…可那些始终都在∑?-世界基数之下，V_(∑?-世界基数）=|ZFc-。再往后还有更强的∑?-世界基数，∑?-世界基数，……，凌驾于∑?-世界基数(n＜）之上的世界基数k，Vk=|ZFc，接着是第二个世界基数，第三个世界基数，第四个世界基数……世界基数对下的封闭性导致其下的数学概念皆被封死。而在第一个弱不可达基数、也就是最小的不可数正则极限基数之下，存在无界多层级的世界基数。强不可达基数就是正则强极限基数，基数k是强极限的当且仅当对于任意基数λ＜k，若μ＜k则μ^λ＜k。不可达基数是将的“集论运算的不可到达性”推广到不可数基数而得到的大基数，在gch之下每个强不可达基数又是弱不可达基数。若用k是第k个不可达基数这类方式来延伸下去，就会来到马洛基数m，若b是a的无界闭集，当s为a的驻集时满足s?a→snb≠?，所有小于m的不可达基数组成m上的驻集。再往上则是更强的弱紧致基数，弱紧致基数是将所满足的分划关系→(）2?推广至不可数基数而得到的，若k是不可达的且具有分化性则被称为弱紧致的，语言L??中任何仅含≤k个非逻辑符号的子集有模型子集的任意基数k的子语句集有模型，则k是弱紧致基数，k等价于∏?1-不可描述基数。

不可描述基数是对V的不可描述性(表现为反射原理）的深入刻画，即将V具有的不可描述性移植到k上。称基数k为∏n不可描述基数如果对于每个∏m命题(φ，并且设置a?∨k与(Vk+n，∈，a）╞φ存在一个a＜k与(Va+n，∈，anVa）╞φ。若基数k是∏??，则称它是完全不可描述的——对于所有正整数m和n都难以描述。不可描述基数指用∏??或者是∑??公式的概念和模型论工具所定义的基数，若对任何仅含一个二阶自由变元x的∏??公式或∑??公式Φ(x），当有a层结构〈Va，∈?Va，R〉满足Φ(R）时，即〈Va，∈?Va，R〉?Φ(R）成立时，存在b&1t;a，使b层子结构也满足Φ(R），即〈Vb，∈?Vb，RnVb〉?Φ(RnVb），则称基数a为∏??或∑??不可描述基数。还有强可展开基数，基数k是λ不可折叠的当且仅当对于ZFc负幂集的每个基数k的传递模型m，使得k在m中并且m包含其所有长度小于k的序列，有一个将m的非平凡初等嵌入j到传递模型中，其中j的临界点为k且j(k）≥λ。基数k是强λ不可折叠的当且仅当对于ZFc负幂集的每个基数k的传递模型m使得k在m中并且m包含其所有长度小于k的序列，有一个非-将m的j简单基本嵌入到传递模型n中，k是j的临界点，j(k）≥λ且V(λ）是n的子集。再往上就到了更强的拉姆齐基数，令让[k]＜表示k的所有有限子集的集合，一个不可数的基数k称为R若对于每个函数f:[k]＜→{o，1}，有基数k的集合a对于f是齐次的。若a可以选择为k的平稳子集则基数k被称为不可称的R。若对于每个函数，基数k实际上称为Rf:[k]＜→{o，1}，有c是k的一个封闭且无界的子集，因此对于c中的每个λ具有不可数的共尾性，有一个λ的无界子集对于f是同质的。其中对于每个λ＜k，f的齐次集都需要阶类型λ。满足分划性质k→(a）＜2的最小基数k为k(a），k(a）的不动点即是拉姆齐基数，即满足k(η）=η的η是拉姆齐基数。再提升下一致性就能得到强拉姆齐基数：若k为强拉姆齐基数，当且仅当对于每一个a?k位于一个存在k上的弱自可的k-模型m，k-模型m可数完备，〈m，u〉满足k-完备，m在长度小于k的序列下封闭。

再往后就是可测基数了，若k是无穷基数，若任何基数为k的集合a上都存在λ可加实值测度，则称k是λ-c可测基数，实值可测基数k必是弱马洛基数，且小于k的弱马洛基数组成k的驻子集。若k＞是k-c可测基数，则称k是实值可测基数，两者合称为可测基数。把滤说成测度是因k-完全滤和k-可加测度之间的内在联系。更强的是强紧基数，一个不可数正则基数k被称作是紧的，当且仅当对任意集合s上的每一个k完全的滤子都扩充成s上的k完全的滤。对于任何无穷基数λ语言L_kk都是(λ，k）紧的，且k＞，则k是强紧基数。

到此为止已经出现过多次用从全域V到某传递类m的非平凡的基本嵌入j:V→m来描述大基数公理，设k为j的临界点即最小的满足j(a）=a的序数，此时V和m越相似所引入的大基数公理越强。除了前面提及的，还有：若m?m，则称k为λ紧基数，若对任意为λ≥k且k为λ紧基数，则称k为紧基数；若对于任意的f：k→k，存在j′：V→m′使得crit(j）=k且V?m′，其中m′是传递的，则称k为谢拉赫基数；若对于任意函数f:k→k存在a＜k满足{f(b）:b∈a}?a以及在临界点a存在一个非平凡初等嵌入j:V→m使得V_j(f）(a）?m，k为武丁基数；若λ是任意序数，k是λ-强的意味着k是基数且存在非平凡初等嵌入j:V→m且V_k+λ?m，临界点为k，k为λ-强基数；若V中存在一个初等嵌入j:V→m从V到一个具有临界点k的可传递内模型，j(k）m?m，k为巨大基数；若基数k是n-强当且仅当存在基本嵌入j:V→m从V到具有临界点k和V_jn(k）?m，k是强基数；存在满足m为传递集以及在临界点k处的一个初等嵌入j:V→m并且有V?????m以及j(k）∈c???，k是c???-强基数；大于每一个a且在临界点k时存在一个初等嵌入j:V→m满足m是一个传递集并使得a＜j(k）并且m在j(k）-序列下封闭以及j(k）∈c???，k是c???-巨大基数；若对任意λ＞k，存在初等嵌入j:V_λ+1→V_j(λ）+1具有临界点k，k是可扩基数；k是高跳基数当且仅当在临界点k时存在一个初等嵌入j:V→m间隙o使得mo?m：m包含了所有的长度为o的m的元素序列。高跳基数是基本嵌入j的关键点:V→m使得m在长度sup{j(f）(k）|f:k→k}。基数k为级高跳的当且仅当存在拥有高度为ord的高跳嵌入。此外，还有更强的阶对阶(Rank-Into-Rank）基数，公理|3~|o分别是|3:存在Vλ到自身的非平凡基本嵌入也就是存在非自明初等嵌入j:Vp→Vp；|2:V存在一个非平凡基本嵌入到包含Vλ的传递类m，入为临界点上方的第一个不动点，也就是非自明初等嵌入j:V→m，存在满足vpm且过j临界点的最小不动点为p的情况；|1：Vλ+1到自身的非平凡基本嵌入也就是存在非自明初等嵌入j:Vp+1→Vp+1；|o：存在L(Vλ+1）的非平凡基本嵌入，其临界点&1t;λ公理。也就是存在非自明初等嵌j入:L(Vp+1）→L(Vp+1），|o是ZFc所能兼容的最强大基数。

再往后就是非选择基数范畴的伊卡洛斯集，j:Vλ+1→Vλ+1与j:Vλ+2→Vλ+2之间元素组成的最大集合就是伊卡洛斯集。我们称集合x∈V_λ+1为一个伊卡洛斯集，当且仅当存在非平凡初等嵌入j:L(x，V_λ+1）＜L(x，V_λ+1），其临界点低于λ。还有级莱茵哈特基数：对于任一序数a，存在一个非平凡初等嵌入j:V→V且j(k）＞a并具有临界点k，可以称为o=1是因为足够大的大基数公理会导致不一致性，从而使该系统下所有命题为真。还有就是极限无界闭伯克利基数：若k是伯克利基数，当且仅当对于一切传递集m，满足k∈m且对于任意a＜k，均存在j:m→m且a＜crit(j）＜k。若存在伯克利基数就会有对力迫扩张绝对，它使最小的伯克利基数有共尾性，若k是伯克利和a，a∈m且m有传递，那么对于任意a＜k，都有一个j:m＜m和a＜critj＜k和critj(a）=a，对于任意一个可传递的m?k都存在j:m?m与critj＜k，基数是伯克利，且仅当对于任何传递集m?k存在j:m?m和a＜critj＜k，因此δ≥k，δ也是伯克利，最小的伯克利基数也被称为δ_a。称k为无界闭伯克利基数，当且仅当对一切带k的传递集m，以及对于任意无界闭集c?k，有j:m→m且crit(j）∈c。称k为极限无界闭伯克利基数，当且仅当k是闭伯克利基数且是伯克利基数的极限。